Question

13．已知曲線(xiàn)C：y=3x⁴-2x³-9x²+4
①求曲線(xiàn)C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線(xiàn)方程；
②第①小題中切線(xiàn)與曲線(xiàn)C是否還有其它公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 ①根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線(xiàn)的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可；
②由①得出的切線(xiàn)方程與y=3x⁴-2x³-9x²+4組成方程組，解得兩組解，從而得出切線(xiàn)與曲線(xiàn)C還有其他的公共點(diǎn)．

解答 解：①y'=12x³-6x²-18x，
可得y'|_x=1=12×1³-6×1²-18×1=-12，
而切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-4），
∴曲線(xiàn)y=3x⁴-2x³-9x²+4在x=1的處的切線(xiàn)方程為：y+4=-12（x-1），
即12x+y-8=0；
②由方程組：$\left\{\begin{array}{l}{12x+y-8=0}\\{y=3{x}^{4}-2{x}^{3}-9{x}^{2}+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=32}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
故切線(xiàn)與曲線(xiàn)C還有其他的公共點(diǎn)：（-2，32），（$\frac{2}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，考查運(yùn)算求解能力和方程思想，屬于中檔題．