Question

5．已知曲線xy=1，過其上任意一點P作切線與x軸、y軸分別交于Q、R．求證：
（1）P平分QR；
（2）△OQR的面積是定值．

Answer 1

分析 （1）設P（m，$\frac{1}{m}$），求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，運用點斜式方程求得切線的方程，分別令x=0，y=0，可得Q，R的坐標，再由中點坐標公式即可得證；
（2）運用三角形的面積公式可得S=$\frac{1}{2}$|OQ|•|OR|，計算即可得證．

解答 證明：（1）設P（m，$\frac{1}{m}$），由y=$\frac{1}{x}$可得y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有P點出的切線的斜率為-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
切線的方程為y-$\frac{1}{m}$=-$\frac{1}{{m}^{2}}$（x-m），
由x=0，可得y=$\frac{2}{m}$；y=0可得x=2m．
即有Q（2m，0），R（0，$\frac{2}{m}$），
則P為QR的中點，即P平分QR；
（2）△OQR的面積是S=$\frac{1}{2}$|OQ|•|OR|
=$\frac{1}{2}$•2|m|•$\frac{2}{|m|}$=2為定值．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，注意運用導數(shù)的幾何意義和直線的方程，考查中點坐標公式和三角形的面積計算，屬于中檔題．