Question

16．已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上無(wú)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x∈（0，$\frac{1}{3}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，令h（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1-2lnx，則f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）； 
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）＜0在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上恒成立不可能，
故要使函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上無(wú)零點(diǎn)，
只要對(duì)任意的x∈（0，$\frac{1}{3}$），f（x）＞0恒成立，
即對(duì)x∈（0，$\frac{1}{3}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立．                                          
令h（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{3}$），
則h′（x）=$\frac{2lnx+\frac{2}{x}-2}{{（x-1）}^{2}}$，
再令m（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，x∈（0，$\frac{1}{3}$），
則m′（x）=$\frac{-2（1-x）}{{x}^{2}}$＜0，
故m（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上為減函數(shù)，
于是，m（x）＞m（$\frac{1}{3}$）=4-3ln3＞0，
從而h′（x）＞0，于是h（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上為增函數(shù)，
所以h（x）＜h（$\frac{1}{3}$）=2-3ln3，
∴a的取值范圍為[2-3ln3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．