Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+2與圓O：x²+y²=1交于A，B兩點，若圓O上存在點C滿足$\overrightarrow{OC}$=cosα•$\overrightarrow{OA}$+sinα•$\overrightarrow{OB}$，其中α為銳角，則k的值為±$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)出A，B，C的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{OC}$=cosα•$\overrightarrow{OA}$+sinα•$\overrightarrow{OB}$，把C的坐標(biāo)用A，B的坐標(biāo)表示，代入圓的方程，可得x₁x₂+y₁y₂=0，說明$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，求得圓心O到直線y=kx+2的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．再由點到直線的距離公式列式求得k值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），
由$\overrightarrow{OC}$=cosα•$\overrightarrow{OA}$+sinα•$\overrightarrow{OB}$，
得（x₀，y₀）=cosα（x₁，y₁）+sinα（x₂，y₂）=（x₁cosα+x₂sinα，y₁cosα+y₂sinα），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}={x}_{1}cosα+{x}_{2}sinα}\\{{y}_{0}={y}_{1}cosα+{y}_{2}sinα}\end{array}\right.$，
代入${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，得$（{x}_{1}cosα+{x}_{2}sinα）^{2}+（{y}_{1}cosα+{y}_{2}sinα）^{2}=1$．
整理得：sin2α（x₁x₂+y₁y₂）=0，
∵α為銳角，∴sin2α≠0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，則圓心O到直線y=kx+2的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由$\frac{|2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：k=$±\sqrt{7}$．
故答案為：$±\sqrt{7}$．

點評 本題考查平面向量的基本定理及其意義，考查了點到直線距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．