Question

8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足|2x+y-2|≥|6-x-3y|且|x|≤4，則|3x-4y|的最大值為32．

Answer 1

分析 根據(jù)條件畫出（x，y）的范圍，求出可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線3x-4y=0的距離的最大值，可得|3x-4y|的最大值．

解答 解：實(shí)數(shù)x，y滿足|2x+y-2|≥|6-x-3y|，
即|2x+y-2|≥|x+3y-6|，且|x|≤4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x+3y-6≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≤0}\\{x+3y-6≤0}\\{x-2y+4≤0}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$ ②，
或$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x+3y-6≤0}\\{3x+4y-8≥0}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$ ③，或$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≤0}\\{x+3y-6≥0}\\{3x+4y-8≤0}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$ ④．
由①②③④可得點(diǎn)（x，y）的可行域如圖
（陰影部分）：
由于可行域內(nèi)的點(diǎn)A（-4，5）到直線3x-4y=0
的距離的最大值為$\frac{|3×（-4）-4×5|}{5}$=$\frac{32}{5}$，
故|3x-4y|的最大值為32，
故答案為：32．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．