Question

5．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且E的長軸長是短軸長的$\sqrt{2}$倍，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是E的左，右焦點．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率與標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若拋物線y²=4x上存在兩點A，B，橢圓E上存在兩點C，D，滿足A，B，F(xiàn)₂三點共線，C，D，F(xiàn)₂三點共線，且CD⊥AB，求四邊形ADBC面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}$=1，$2a=\sqrt{2}×2b$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）F₂（1，0），對直線AB的斜率分類討論：①AB⊥x軸時，|AB|=4，|CD|=2$\sqrt{2}$，可得：四邊形ADBC面積S=$\frac{1}{2}×$|AB|×|CD|．
②直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為：my+1=x，則CD的方程為：$-\frac{1}{m}y$+1=x．（m≠0）．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），分別與拋物線方程、橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可得|AB|，|CD|，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：$\frac{1}{2{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}$=1，$2a=\sqrt{2}×2b$，a²=b²+c²，解得：b=1，a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）F₂（1，0），
①AB⊥x軸時，|AB|=4，|CD|=2$\sqrt{2}$，可得：四邊形ADBC面積S=$\frac{1}{2}×$|AB|×|CD|=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．
②直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為：my+1=x，則CD的方程為：$-\frac{1}{m}y$+1=x．（m≠0）．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+1=x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=4（1+m²）．
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{m}y+1=x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+2m²）x²-4m²x+2m²-2=0，
∴x₃+x₄=$\frac{4{m}^{2}}{1+2{m}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{m}^{2}}$．
∴|CD|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}]}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{1+2{m}^{2}}$．
∴四邊形ADBC面積S=$\frac{1}{2}×$|AB|×|CD|=$\frac{1}{2}×4（1+{m}^{2}）$×$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{1+2{m}^{2}}$=$\sqrt{2}$×$（2{m}^{2}+1+\frac{1}{2{m}^{2}+1}+2）$≥4$\sqrt{2}$，∵m≠0，因此不能取等號．
綜上可得：S≥4$\sqrt{2}$．
∴當(dāng)AB⊥x軸時，四邊形ADBC面積取得最小值4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、四邊形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．