Question

7．已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a=3，且（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． $\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知及正弦定理化簡可得b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可求cosA，進而可求A=60°，從而利用基本不等式可得9≥bc，根據(jù)三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵由a=3且 （3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
即（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴由及正弦定理得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，
∴b²+c²-a²=bc，
故$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∴∠A=60°，
∴b²+c²-9=bc，可得：9=b²+c²-bc≥bc，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了三角形面積公式、正、余弦定理、基本不等式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．