Question

15．如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，AE⊥平面CDE，$AE=DE=\sqrt{6}$，F(xiàn)為線段DE上的一點．
（Ⅰ）求證：平面AED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角E-BC-F與二面角F-BC-D的大小相等，求DF的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AE⊥CD，AD⊥CD，從而CD⊥面AED，由此能證明平面AED⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取AD，BC的中點G，H，連結EG，GH，EH，過F作FM||EG交AD于M，過M作NM||HG交BC于N，連結FN，推導出∠EHG就是二面角E-BC-D的平面角，∠FNM就是二面角F-BC-D的平面角，由此能求出DF的長．

解答 證明：（Ⅰ）∵AE⊥面CDE，CD?面CDE，
∴AE⊥CD，
又∴$λ=3-\sqrt{6}$是矩形，
∴AD⊥CD，∴CD⊥面AED，
又∵CD?面ABCD，
∴平面AED⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）取AD，BC的中點G，H，
連結EG，GH，EH，過F作FM||EG交AD于M，
過M作NM||HG交BC于N，連結FN，
∵$AE=DE=\sqrt{6}$，∴$EG=\sqrt{3}$且EG⊥AD，
∵平面AED⊥平面ABCD，∴EG⊥面ABCD，GH⊥BC，
∴EH⊥BC，∴∠EHG就是二面角E-BC-D的平面角，
同理∠FNM就是二面角F-BC-D的平面角，
由題意得∠EHG=2∠FNM，
而 $tan∠EHG=\frac{EG}{GH}=\sqrt{3}$，
∴$tan∠FNM=\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{FM}{MN}=\frac{FM}{1}$，
∴$FM=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$DF=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．