Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{e^x}$（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828）．
（1）若曲線y=f（x）在x=0處的切線的斜率為-1，求實數(shù)a的值；
（2）求f（x）在[-1，1]上的最大值g（a）；
（3）當a=0時，若對任意的x∈（0，1），恒有f（x）＞f（$\frac{m}{x}$），求正實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點坐標，由點斜式方程可得所求切線的方程；
（2）求出f（x）的導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，討論a＞2，0≤a≤2，a＜0時，判斷單調(diào)性，可得f（x）的最大值；
（3）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，判斷0＜m＜1，取x=m，則有f（m）＞f（1），與f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增矛盾，所以只有m≥1．由條件只要證明$f（x）＞f（\frac{1}{x}）$在區(qū)間（0，1）上恒成立，通過化簡整理，構(gòu)造函數(shù)，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{e^x}$的導數(shù)為$f'（x）=\frac{{{e^x}-（x+a）{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=\frac{1-x-a}{e^x}$，
即有在x=0處的切線的斜率為f'（0）=1-a=-1，
解得a=2；
（2）由f'（x）＞0，得x＜1-a；由f'（x）＜0，得x＞1-a．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1-a），單調(diào)遞減區(qū)間是（1-a，+∞）．
當1-a＜-1，即a＞2時，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（-1）=（a-1）e；
當-1≤1-a≤1，即0≤a≤2時，
x=1-a為f（x）在區(qū)間[-1，1]上的極大值點，也是最大值點，
可得$f{（x）_{max}}=f（1-a）=\frac{1}{{{e^{1-a}}}}$；
當1-a＞1，即a＜0時，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
$f{（x）_{max}}=f（1）=\frac{1+a}{e}$．
故$g（a）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1+a}{e}，a＜0\\ \frac{1}{{{e^{1-a}}}}，0≤a≤2\\（a-1）e，a＞2\end{array}\right.$；
（3）當a=0時，由（2）知，
f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
若0＜m＜1，取x=m，則有f（m）＞f（1），
與f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增矛盾，
所以只有m≥1．
當m≥1時，$\frac{m}{x}≥\frac{1}{x}＞1$，
所以$f（\frac{1}{x}）≥f（\frac{m}{x}）$，故只需$f（x）＞f（\frac{1}{x}）$，
即可滿足$f（x）＞f（\frac{m}{x}）$．
下面證明$f（x）＞f（\frac{1}{x}）$在區(qū)間（0，1）上恒成立．
$f（x）＞f（\frac{1}{x}）$，即$\frac{x}{e^x}＞\frac{{\frac{1}{x}}}{{{e^{\frac{1}{x}}}}}$，即$x{e^{\frac{1}{x}}}＞\frac{1}{x}{e^x}$，即${x^2}＞{e^{x-\frac{1}{x}}}$，兩邊取對數(shù)，
得$lnx＞\frac{1}{2}（x-\frac{1}{x}）$．
構(gòu)造函數(shù)$h（x）=lnx-\frac{1}{2}（x-\frac{1}{x}）$，則$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}（1+\frac{1}{x^2}）=\frac{{-{{（x-1）}^2}}}{{2{x^2}}}$，
對任意的x∈（0，1），h'（x）＜0，故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以h（x）＞h（1）=0，所以$lnx＞\frac{1}{2}（x-\frac{1}{x}）$．
綜上可知，正實數(shù)m的最小值為1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法和不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．