Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若x＞1時，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系，問題得解決；
（2）求f（x）＜0恒成立，求參數(shù)a的取值范圍，設(shè)h(x)=lnx-

(x-1)(ax-a+1)

x

，求導(dǎo)，利用分類討論的思想，問題得以解決．

解答： 解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（Ⅱ）f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）＜0，在（1，+∞）恒成立．
①若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）＞f（1）=0，
即f（x）＜0不成立；∴a=0不成立．
②∵x＞1，lnx-

(x-1)(ax-a+1)

x

＜0，在（1，+∞）恒成立，
不妨設(shè)h(x)=lnx-

(x-1)(ax-a+1)

x

，x∈（1，+∞）
h′(x)=-

ax2-x-a+1

x2

=-

(x-1)(ax+a-1)

x2

，x∈（1，+∞）
h′(x)=0，x1=1，x2=

1-a

a

，
若a＜0，則x2=

1-a

a

＜1，x＞1，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，h（x）＞h（1）=0（不合題意）；
若0＜a＜

1

2

，x∈(1，

1-a

a

)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，h（x）＞h（1）=0（不合題意）；
若a≥

1

2

，x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，h（x）＜h（1）=0（符合題意）．
綜上所述若x＞1時，f（x）＜0恒成立，則a≥

1

2

．

點評：本題考查了，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，并如何利用分類討論的思想求函數(shù)在某區(qū)間上恒成立，參數(shù)的取值范圍．