Question

8．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=-2$\sqrt{2}$．
（I）若∠ACD=$\frac{π}{4}$，求AC的長(zhǎng)；
（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，由正弦定理即可求出AC，
（Ⅱ）分別利用正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）：∵AB∥CD，∠ACD=$\frac{π}{4}$，
∴∠BAC=∠ACD=$\frac{π}{4}$，
∵tan∠ABC=-2$\sqrt{2}$，
∴sin∠ABC=-2$\sqrt{2}$cos∠ABC，
∵sin²∠ABC+cos²∠ABC=1，
∴sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sin∠ABC}$，
∴$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{AC}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$，
∴AC=8，
（Ⅱ）∵AB∥CD，
∴∠BCD=π-∠ABC，
∴sin∠BCD=sin（π-∠ABC）=sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos∠BCD=$\frac{1}{3}$，
由余弦定理可得BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cos∠BCD，
即81=36+CD²-2×6×CD×$\frac{1}{3}$，
解得CD=9
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•BCsin∠BCD=$\frac{1}{2}$×6×9×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=18$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系和正弦定理和余弦定理以及面積公式，屬于基礎(chǔ)題．