Question

已知函數(shù)f(x)＝x－mx (m∈R)，g(x)＝ln x.

(1)記h(x)＝f(x)－ g(x)，當(dāng)m＝1時(shí)，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意有意義的x，不等式f(x)>g(x)成立，求m的取值范圍；

(3)求證：當(dāng)m>1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不等的實(shí)根.

Answer 1

(1)解　當(dāng)m＝1時(shí)，h(x)＝x－x－ln x(x>0)，

h′(x)＝2x－1－＝ (x>0)，

當(dāng)0<x<1時(shí)，h′(x)<0，∴h(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，1)；

當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)>0，∴h(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，＋∞).

(2)解　f(x)>g(x)等價(jià)于x－mx>ln x，其中x>0，

令t(x)＝x－，得t′(x)＝，

當(dāng)0<x<1時(shí)，t′(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，t′(x)>0.

∴m<t(x)min＝t(1)＝1，∴m<1.

(3)證明　設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－mx－ln x，其中x>0.

∵h(yuǎn)′(x)＝2x－m－

等價(jià)于2x－mx－ 1＝ 0，此方程有且只有一個(gè)正根為x0＝

且當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h′(x)<0，

∴h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，

∴h(x)在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增；

∴函數(shù)只有一個(gè)極值h(x)min＝h(x0)＝－mx0－ln x0.

h(x)min=＝h(x0)＝x0－mx0－ln x0

＝x0(x0－m)－ln x0<0，

當(dāng)m>1時(shí)，方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不等的實(shí)根.