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【題目】已知函數f(x)=ax2+21nx.
(1)求f(x)的單調區(qū)間.
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值是﹣2,求a的值.
(3)記g(x)=f(x)+(a﹣1)lnx+1,當a≤﹣2時,若對任意x1 , x2∈(0,+∞),總有|g(x1)﹣g(x2)|≥k|x1﹣x2|成立,試求k的最大值.

【答案】
(1)解:函數f(x)=ax2+21nx(x>0)的導數為f′(x)=2ax+ = ,

當a≥0時,f′(x)>0,f(x)遞增;

當a<0時,f′(x)>0解得0<x< ;f′(x)<0解得x>

即有a≥0時,f(x)的增區(qū)間為(0,+∞);

a<0時,f(x)的增區(qū)間為(0, );減區(qū)間為( ,+∞)


(2)解:由(1)可得a≥0時,f(x)在(0,1]遞增,f(1)取得最大,且為a=﹣2,舍去;

a<0時,若1≤ 即﹣1≤a<0時,f(x)在(0,1]遞增,

則f(1)=a取得最大值,且為a=﹣2<﹣1,不成立;

若1> 即a<﹣1時,f(x)在(0, )遞增,( ,1]遞減,.

則f( 取得最大值,且為﹣1+2ln =﹣2,解得a=﹣e<﹣1,成立.

綜上可得a=﹣e


(3)解:g(x)=f(x)+(a﹣1)lnx+1=ax2+(a+1)lnx+1,

g′(x)=2ax+ <0,(a≤﹣2),即有g(x)在(0,+∞)遞減,

令x1<x2,則g(x1)>g(x2),

若對任意x1,x2∈(0,+∞),總有|g(x1)﹣g(x2)|≥k|x1﹣x2|成立,

即為g(x1)﹣g(x2)≥k(x2﹣x1),即g(x1)+kx1≥g(x2)+kx2

則h(x)=g(x)+kx在(0,+∞)遞減,

即有h′(x)=g′(x)+k≤0恒成立,

則﹣k≥2ax+ 的最大值,

由a≤﹣2,2ax+ ≤﹣4x﹣ =﹣(4x+ )≤﹣2 =﹣4,

當且僅當x= 時,取得最大值﹣4,

則﹣k≥﹣4,即k≤4,則k的最大值為4


【解析】(1)求出f(x)的導數,討論a≥0時,a<0時,由導數大于0,可得增區(qū)間;導數小于0,可得減區(qū)間;(2)由(1)可得,可得a≥0時,f(x)在(0,1]遞增,f(1)最大為﹣2,解方程可得;a<0時,求得極值點,與區(qū)間( ),1]的關系,可得最大值,解方程可得a的值;(3)求得g(x)的導數,判斷符號可得單調性,再由條件可得h(x)=g(x)+kx遞減,運用導數,結合基本不等式可得k的最大值.
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數,掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減;求函數上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

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