Question

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線x²=-4

2

y的焦點(diǎn)是它的一個焦點(diǎn)，又點(diǎn)A（1，

2

）在該橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若斜率為

2

直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B、C，當(dāng)△ABC的面積為

2

時，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)，可設(shè)橢圓方程，再將點(diǎn)A代入，即可求出橢圓方程；
（2）設(shè)直線BC的方程為y=

2

x+m，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，注意判別式大于0，應(yīng)用弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公式等，即可求出m．

解答： 解：（1）由已知拋物線的焦點(diǎn)為(0，-

2

），故設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，
將點(diǎn)A(1，

2

）代入方程得

2

a2

+

1

a2-2

=1，整理得a⁴-5a²+4=0，
得a²=4，a²=1（舍去），故所求的橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）設(shè)直線BC的方程為y=

2

x+m，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入橢圓方程并化簡得4x²+2

2

mx+m²-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0，可得m²＜8．
由x₁+x₂=-

2

2

m，x₁x₂=

m2-4

4

，
故|BC|=

3

|x₁-x₂|=

3 • 16-2m2

2

．
又點(diǎn)A到BC的距離為d=

|m|

3

，
故S_△ABC=

1

2

|BC|d=

|m| 16-2m2

4

=

2

，
解得：m=±2，檢驗(yàn)成立．
∴所求直線l的方程為：y=

2

x±2．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，如何求弦長，以及應(yīng)用韋達(dá)定理，考查基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．