Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-4．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，不等式a•3^x-f（3^x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義，可得x＜0，-x＞0，f（x）=-f（-x），即可得到所求f（x）的解析式；
（2）由題意可得a•3^x-（3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-4）≤0，即有a≤（$\frac{1}{{3}^{x}}$）²-4•$\frac{1}{{3}^{x}}$+1恒成立，運(yùn)用換元法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的最值求法，可得右邊函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$-4，
又f（-x）=-f（x），可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$+4．
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}+4，x＜0}\\{0，x=0}\\{x+\frac{1}{x}-4，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，不等式a•3^x-f（3^x）≤0恒成立，
由3^x＞0，即為a•3^x-（3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-4）≤0，
即有a≤（$\frac{1}{{3}^{x}}$）²-4•$\frac{1}{{3}^{x}}$+1恒成立，
令t=$\frac{1}{{3}^{x}}$（$\frac{1}{3}$≤t≤3），則a≤t²-4t+1，
由g（t）=t²-4t+1=（t-2）²-3，
t=2∈[$\frac{1}{3}$，3]，可得g（t）的最小值為-3，
則a≤-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用奇函數(shù)的定義，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．