Question

14．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，且f（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)，若α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則（　　）

• A． f（sinα）＞f（sinβ）
• B． f（cosα）＞f（cosβ）
• C． f（sinα）＞f（cosβ）
• D． f（sinα）＜f（cosβ）

Answer 1

分析 由條件f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$得到f（x）是周期為2的周期函數(shù)，由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在[-3，-2]上是減函數(shù)，得到f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，在[0，1]上是增函數(shù)，再由α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，得到α＞90°-β，且sinα、cosβ都在區(qū)間[0，1]上，從而得到f（sinα）＞f（cosβ）．

解答 解：∵f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
∵y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），∵f（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)，
∴在[2，3]上是增函數(shù)，∴在[0，1]上是增函數(shù)，∵α，β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角．
∴α+β＞90°，α＞90°-β，兩邊同取正弦得：sinα＞sin（90°-β）=cosβ，
且sinα、cosβ都在區(qū)間[0，1]上，
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性．