Question

14．現(xiàn)有3本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的物理書，2本不同的化學(xué)書．
（Ⅰ）若全部排在書架的同一層且不使同類的書分開，一共有多少種排法？
（Ⅱ）若從中任取5本書，求：
①恰有2本數(shù)學(xué)書，2本無理數(shù)，1本化學(xué)書，有多少種不同的取法？
②至少有1本數(shù)學(xué)書，有多少種不同的取法？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，用捆綁法分析：先把3本不同的數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本書，4本不同的物理書“捆綁”在一起看成一本書，2本不同的化學(xué)書“捆綁”在一起看成一本書，再分析3個元素之間的排法數(shù)目，由根據(jù)分步計數(shù)原理計算可得答案；
（Ⅱ）①根據(jù)題意，線分別計算“抽取2本數(shù)學(xué)書”、“抽取2本物理書”、“抽取1本化學(xué)書”的取法數(shù)目，再根據(jù)分步計數(shù)原理計算可得答案；
②根據(jù)題意，用排除法分析：先計算“在9本書中任取5本”的取法數(shù)目，再計算“沒有數(shù)學(xué)書”的取法數(shù)目，由間接法計算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）把3本不同的數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本書，3本不同的數(shù)學(xué)書有A₃³種排法，
4本不同的物理書“捆綁”在一起看成一本書，4本不同的物理書有A₄⁴種排法，
2本不同的化學(xué)書“捆綁”在一起看成一本書，2本不同的化學(xué)書有A₂²種排法；
3個元素之間有A₃³種排法，
再根據(jù)分步計數(shù)原理，共有A₃³A₄⁴A₂²A₃³=1728種不同的排法．
（Ⅱ）①抽取2本數(shù)學(xué)書有C₃²=3種方法，
抽取2本物理書有C₄²=6種方法，
抽取1本化學(xué)書有C₂¹=2種方法，
再根據(jù)分步計數(shù)原理，共有3×6×2=36種不同的取法，
②先不考慮書的不同，在9本書中任取5本，有C₉⁵種取法，
其中沒有數(shù)學(xué)書，即在其他6本數(shù)中任取5本的取法有C₆⁵種，
間接法，共有C₉⁵-C₆⁵=120種取法．

點評 本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計數(shù)原理的運用，解題時注意常見問題的處理方法，如用捆綁法處理必須相鄰問題．