Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PB=PC=AB，PB⊥平面PDC，E為棱PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面DEB；
（2）求證：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）設(shè)AB=2，求三棱錐P-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，由已知得PA∥OE，由此能證明PA∥平面DEB．
（2）由已知得PB⊥DC，BC⊥DC，得DC⊥平面PBC，由此能證明平面PBC⊥平面ABCD．
（3）由V_P-BDE=V_B-PDE，能求出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接OE
∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC中點(diǎn)  
又∵E為PC中點(diǎn)
∴OE是△PAC的中位線，∴PA∥OE
又∵OE?面DEB，PA?面DEB，
∴PA∥平面DEB      …（4分）
（2）證明：∵PB⊥平面PDC，DC?平面PDC，
∴PB⊥DC
又∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥DC     
∵PB∩BC=B，∴DC⊥平面PBC   
∵DC?平面ABCD
∴平面PBC⊥平面ABCD    …（8分）
（3）解：V_P-BDE=V_B-PDE=$\frac{1}{2}$V_B-PDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×2$\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$    …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查PA∥平面DEB、平面PBC⊥平面ABCD的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．