Question

3．函數(shù)f（x）=x³-3x²-x+1在x=x₀處取得極大值，設(shè)m≠x₀，且f（x₀）=f（m），則|m-x₀|=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的極值點(diǎn)x₀，根據(jù)f（x₀）=f（m）求出m的值，作差即可．

解答 解：設(shè)x₀是函數(shù)的極值點(diǎn)，則f′（x₀）=0，
得：3${{x}_{0}}^{2}$-6x₀-1=0，解得：x₀=$\frac{3±2\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)f（m）=f（x₀），得：m³-3m²-m=${{x}_{0}}^{3}$-3${{x}_{0}}^{2}$-x₀，
整理得：${{x}_{0}}^{2}$+（m-3）x₀+（m²-3m-1）=0，
由于x₀是函數(shù)的極值點(diǎn)，
故關(guān)于x₀的方程有且只有1個(gè)根，
故（m-3）²-4（m²-3m-1）=0，即3m²-6m-13=0，
解得：m=$\frac{3±4\sqrt{3}}{3}$，
由于x₀是極大值，故x₀＜0，m＞0，
∴|m-x₀|=$\frac{3+4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求出m的值是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．