Question

17．某工廠生產(chǎn)A，B兩種配套產(chǎn)品，其中每天生產(chǎn)x噸A產(chǎn)品，需生產(chǎn)x+2噸B產(chǎn)品．已知生產(chǎn)A產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的平方成正比．經(jīng)測算，生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需要4萬元，而B產(chǎn)品的成本為每噸8萬元．
（1）求生產(chǎn)A，B兩種配套產(chǎn)品的平均成本的最小值；
（2）若原料供應(yīng)商對這種小型工廠供貨辦法使得該工廠每天生產(chǎn)A產(chǎn)品的產(chǎn)量x在[0，$\frac{1}{2}$]∪[2，8]范圍內(nèi)，那么在這種情況下，該工廠應(yīng)生產(chǎn)A產(chǎn)品多少噸，才可使平均成本最低？

Answer 1

分析 （1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品的成本為y₁萬元，生產(chǎn)B產(chǎn)品的成本為y₂萬元，由題意可得y₁=kx²，（k為比例系數(shù)），求得k=4，可得生產(chǎn)A，B兩種配套產(chǎn)品的平均成本為y=$\frac{4{x}^{2}+8（x+2）}{x+（x+2）}$，變形為y=2（x+1+$\frac{3}{x+1}$），運用基本不等式即可得到所求最小值；
（2）令t=x+1，則y=2（t+$\frac{3}{t}$），t∈[1，$\frac{3}{2}$]∪[3，9]，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求最小值及對應(yīng)x的值．

解答 解：（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品的成本為y₁萬元，生產(chǎn)B產(chǎn)品的成本為y₂萬元，
由題意可得y₁=kx²，（k為比例系數(shù)），
生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需要4萬元，可得k=4．
即有生產(chǎn)A，B兩種配套產(chǎn)品的總成本為4x²+8（x+2），
則生產(chǎn)A，B兩種配套產(chǎn)品的平均成本為y=$\frac{4{x}^{2}+8（x+2）}{x+（x+2）}$
=$\frac{2{x}^{2}+4x+8}{x+1}$=2（x+1+$\frac{3}{x+1}$），
由x＞0，x+1＞0，可得x+1+$\frac{3}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{3}{x+1}}$=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{3}{x+1}$，即x=$\sqrt{3}$-1，取得等號．
即生產(chǎn)A，B兩種配套產(chǎn)品的平均成本的最小值為4$\sqrt{3}$萬元/噸；
（2）由x在[0，$\frac{1}{2}$]∪[2，8]，可得
x+1∈[1，$\frac{3}{2}$]∪[3，9]，
令t=x+1，則y=2（t+$\frac{3}{t}$），t∈[1，$\frac{3}{2}$]∪[3，9]，
由導(dǎo)數(shù)y′=2（1-$\frac{3}{{t}^{2}}$），
可得函數(shù)y在[1，$\frac{3}{2}$]遞減，在[3，9]遞增，
當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，y=2×（$\frac{3}{2}$+2）=7；
當(dāng)t=3時，y=2×（3+1）=8．
可得該工廠應(yīng)生產(chǎn)A產(chǎn)品$\frac{1}{2}$噸，才可使平均成本最低．

點評 本題考查函數(shù)模型在實際問題中的運用，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．