13.已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)滿足f(b)≥f(c),記f(x)的最小值為m(b,c).
(Ⅰ)證明:當b>0時,m(b,c)≤1;
(Ⅱ)當b,c滿足m(b,c)≥1時,求f(1)的最大值.

分析 (Ⅰ)根據(jù)不等式的性質結合一元二次函數(shù)的性質即可證明:當b>0時,m(b,c)≤1;
(Ⅱ)根據(jù)不等式的進行轉化求解即可.

解答 解:(Ⅰ)由f(b)≥f(c)得:2b2≥c2+bc
即(c+2b)(c-b)≤0
又 b>0∴-2b≤c≤b,
$m(b,c)=c-\frac{1}{4}{b^2}≤b-\frac{1}{4}{b^2}≤1$(當且僅當b=c=2時等號成立)…(6分)
(Ⅱ)由$m(b,c)=c-\frac{1}{4}{b^2}≥1$得:$c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$
又(c+2b)(c-b)≤0
。┊攂>0時,-2b≤c≤b,∴$b≥c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$
即b2-4b+4≤0
解得b=2
代入$b≥c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$得c=2
所以f(1)=5
ⅱ)當b<0時,b≤c≤-2b,∴$-2b≥c≥\frac{1}{4}{b^2}+1$
即b2+8b+4≤0
解得$-4-2\sqrt{3}≤b≤-4+2\sqrt{3}$,
$f(1)=1+b+c≤1+b-2b=1-b≤5+2\sqrt{3}$
當$b=-4-2\sqrt{3},c=8+4\sqrt{3}$時等號成立.
ⅲ)當b=0時,c=0,與題意不符.
綜上知:f(1)的最大值為$5+2\sqrt{3}$.  …(14分)

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解以及不等式的應用,利用不等式的性質進行轉化推理是解決本題的關鍵.綜合性較強,難度較大.

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