Question

17．焦點(diǎn)在x軸的橢圓，順次連接橢圓的短軸頂點(diǎn)和焦點(diǎn)形成一邊長為$\sqrt{2}$的正方形，求：
（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），根據(jù)順次連接橢圓的短軸頂點(diǎn)和焦點(diǎn)形成一邊長為$\sqrt{2}$的正方形，可得b=c=1，a²=b²+c²．即可得出．
（2）由b=c=1，a²=2．即可得出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），∵順次連接橢圓的短軸頂點(diǎn)和焦點(diǎn)形成一邊長為$\sqrt{2}$的正方形，
∴b=c=1，∴a²=b²+c²=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）由b=c=1，a²=2．
可得焦點(diǎn)坐標(biāo)（±1，0），頂點(diǎn)$（±\sqrt{2}，0）$，（0，±1）．
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．