Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：3x+2y-8=0，圓M：（x-3）²+（y-2）²=1．
（1）設(shè)A，B分別為直線l與圓M上的點(diǎn)，求線段AB長(zhǎng)度的取值范圍；
（2）試直接寫出一個(gè)圓N（異于圓M）的方程（不必寫出過程），使得過直線l上任一點(diǎn)P均可作圓M與圓N的切線，切點(diǎn)分別為T_M，T_N，且PT_M=PT_N；
（3）求證：存在無窮多個(gè)圓N（異于圓M），滿足對(duì)每一個(gè)圓N，過直線l上任一點(diǎn)P均可作圓M與圓N的切線，切點(diǎn)分別為T_M，T_N，且PT_M=PT_N．

Answer 1

分析 （1）利用圓心到直線的距離以及垂徑定理集合圓的直徑求解即可．
（2）判斷圓的位置關(guān)系，寫出方程即可．
（3）設(shè)圓N：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0，a≠3），利用PT_M=PT_N，推出2a-3b）x+r²-a²-b²+8b-4=0．列出方程組，化簡(jiǎn)證明即可．

解答 解：（1）易得圓心M（3，2）到直線l：3x+2y-8=0的距離$d=\frac{{|{3×3+2×2-8}|}}{{\sqrt{{3^2}+{2^2}}}}=\frac{5}{{\sqrt{13}}}＞1=r$，
故直線l與圓M相離，從而$AB\;≥\;\frac{{5\sqrt{13}}}{13}-1$，
所以線段AB長(zhǎng)的取值范圍是$[{\frac{{5\sqrt{13}}}{13}-1\;，\;\;+∞}）$．（5分）
（2）易得圓M關(guān)于直線l對(duì)稱的圓必滿足題意，
故滿足題意的一個(gè)圓N的方程為：$（x-\frac{6}{13}）^{2}+（y-\frac{9}{13}）^{2}=1$．（8分）
（3）設(shè)圓N：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0，a≠3），
由PT_M=PT_N，
得PM²-1=PN²-r²，即（x-3）²+（y-2）²-1=（x-a）²+（y-b）²-r²，（10分）
整理得，2（a-3）x+（b-2）•2y+r²+12-a²-b²=0，
因?yàn)?x+2y-8=0，所以2y=8-3x，
從而2（a-3）x+（b-2）•（8-3x）+r²+12-a²-b²=0，
整理得，（2a-3b）x+r²-a²-b²+8b-4=0，（13分）
因?yàn)樯鲜綄?duì)任意的x∈R恒成立，所以$\left\{\begin{array}{l}2a-3b=0\;，\;\;\\{r^2}-{a^2}-{b^2}+8b-4=0\;，\;\;\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{3}a\;，\;\;\\{r^2}=\frac{13}{9}{a^2}-\frac{16}{3}a+4\;＞0（a≠3），\;\;\end{array}\right.$
所以圓N的方程為：${（x-a）^2}+{（{y-\frac{2}{3}a}）^2}=\frac{13}{9}{a^2}-\frac{16}{3}a+4$，即證．（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，對(duì)稱知識(shí)以及圓的切線的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．