Question

5．已知函數(shù)f₁（x）=$\frac{x}{x+3}$，（x＞0），對于n∈N^*，定義f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，則函數(shù)f_n（x）的值域為（0，$\frac{2}{{3}^{n}-1}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)定義分別計算f₁（x），f₂（x），f₃（x），然后根據(jù)前三個函數(shù)的值域歸納出f_n（x）的表達式，然后利用分式函數(shù)求函數(shù)的值域．

解答 解：根據(jù)定義可知f₂（x）=f₁[f₁（x）]=$\frac{\frac{x}{x+3}}{\frac{x}{x+3}+3}$=$\frac{x}{4x+9}$，
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=$\frac{\frac{x}{4x+9}}{\frac{x}{4x+9}+3}$=$\frac{x}{13x+27}$，
f₄（x）=f₁[f₃（x）]=$\frac{x}{40x+81}$，
∴f_n（x）=$\frac{x}{\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）x+{3}^{n}}$=$\frac{2}{{3}^{n}-1}•\frac{x}{x+\frac{2•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}}＜\frac{2}{{3}^{n}-1}$，
∴f_n（x）的值域為（0，$\frac{2}{{3}^{n}-1}$）．
故答案為：（0，$\frac{2}{{3}^{n}-1}$）．

點評 本題考查函數(shù)的值域，求出前幾項歸納出f_n（x）的表達式是解決本題的關鍵，考查學生的觀察分析能力，是中檔題．