Question

設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，且過點（-1，-

6

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的左頂點是A，若直線l：x-my-t=0與橢圓E相交于不同的兩點M、N（M、N與A均不重合），若以MN為直徑的圓過點A，試判定直線l是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由離心率為e=

2

2

，得到a²=2b²，橢圓的過點（-1，-

6

2

），求出b²=2，a²=4，則橢圓C的方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，因為以MN為直徑的圓過點A，所以

AM

•

AN

=0，得到t=-

2

3

，從而證明直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）由e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，可得a²=2b²，…（1分）
橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，代入點(-1，-

6

2

)可得b²=2，a²=4，
故橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

2

=1，…（4分）
（Ⅱ）由x-my-t=0得x=my+t，把它代入E的方程得：（m²+2）y²+2mty+t²-4=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）得：y1+y2=-

2mt

m2+2

，y1y2=

t2-4

m2+2

，x1+x2=m(y1+y2)+2t=

4t

m2+2

x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=

2t2-4m2

m 2+2

…（7分）
因為以MN為直徑的圓過點A，所以AM⊥AN，…（8分）
所以

AM

•

AN

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=

2t2-4m2

m2+2

+2×

4t

m2+2

+4+

t2-4

m2+2

=

3t2+8t+4

m2+2

=

(t+2)(3t+2)

m2+2

=0…（10分）
因為M、N與A均不重合，所以t≠-2
所以，t=-

2

3

，直線l的方程是x=my-

2

3

，直線l過定點T(-

2

3

，0)
由于點T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0
所以直線l過定點T(-

2

3

，0)…（12分）

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了設(shè)而不求的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是把以線段MN為直徑的圓過橢圓C左頂點A轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積等于0解題．