Question

13．設(shè)點(diǎn)P（x，y）為圓x²+y²=1上任-點(diǎn)．求下列兩個式子的取值范圍．
（1）$\frac{y-2}{x+1}$；
（2）x²+y²-2x+6y+1．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\frac{y-2}{x+1}=k$，得到kx-y+k+2=0，然后，利用圓心到直線的距離，確定其取值范圍；
（2）設(shè)z=x²+y²-2x+6y+1=（x-1）²+（y+3）²-9．則z的幾何意義圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)A（1，-3）距離的平方減9，根據(jù)距離公式即可求出z的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)$\frac{y-2}{x+1}=k$，即kx-y+k+2=0，
圓心到直線的距離為d=$\frac{|k+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，
∴k≤-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{y-2}{x+1}$的取值范圍：（$-∞，-\frac{3}{4}$]．
（2）令=x²+y²-2x+6y+1=（x-1）²+（y+3）²-9．
可得（x-1）²+（y+3）²=z+9，
表達(dá)式（x-1）²+（y+3）²的最值就是圓的圓心與定點(diǎn)A（1，-3）的距離的平方，
|PA|_min=$\sqrt{（0-1）^{2}+（0+3）^{2}}$-1=$\sqrt{10}$-1，
z的最小值為：${（\sqrt{10}-1）}^{2}-9$=2-2$\sqrt{10}$，
z的最大值為：${（\sqrt{10}+1）}^{2}-9$=2+2$\sqrt{10}$，
x²+y²-2x+6y+1的取值范圍：[2-2$\sqrt{10}$，2+2$\sqrt{10}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，圓的方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．