Question

18．設f（x）=|x-a|-$\frac{4}{x}$+a，x∈[1，6]，a∈（1，6）．
（Ⅰ）若a∈（1，2]，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用絕對值的定義，將f（x）轉化，討論a∈（1，2]，函數f（x）在[1，a]上，在[a，6]上的單調性即可得到；
（Ⅱ）討論①當1＜a≤2時，②當2＜a＜6時，函數的單調性，即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）首先f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-（x+\frac{4}{x}），1≤x≤a}\\{x-\frac{4}{x}，a＜x≤6}\end{array}\right.$，
因為當1＜a≤2時，f（x）在[1，a]上是增函數，在[a，6]上也是增函數．
所以當1＜a≤2時，y=f（x）在[1，6]上是增函數；      
（Ⅱ）①當1＜a≤2時，由（Ⅰ）知，f（x）_min=f（1）=2a-5，
 ②當2＜a＜6時，f（x）在[1，2]上是增函數，在[2，a]上是減函數，在[a，6]上是增函數．                                                   
又f（1）=2a-5，f（a）=a-$\frac{4}{a}$，且f（1）-f（a）=a+$\frac{4}{a}$-5＞0，解得4＜a＜6
所以當2＜a＜4時，f（x）_min=f（1）=2a-5，
當4≤a＜6時，f（x）_min=f（a）=a-$\frac{4}{a}$．
綜上可知，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{2a-5，1＜a＜4}\\{a-\frac{4}{a}，4≤a＜6}\end{array}\right.$．

點評 本題考查分段函數的運用，主要考查函數的單調區(qū)間和最值的求法，注意運用分類討論的思想方法和函數的單調性的性質是解題的關鍵．