Question

7．函數f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|對任意x∈R有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₂-x₁|的最小值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先將函數寫出分段函數，結合三角函數的圖象，再確定|x₂-x₁|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標差的絕對值，由此可得結論．

解答 解：由題意可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2sinπx，}&{sinπx≥cosπx}\\{2cosπx，}&{sinπx＜cosπx}\end{array}\right.$，
若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，
則f（x₁）為函數的最小值，f（x₂）為函數的最大值．
|x₂-x₁|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標差的絕對值．
由于x=$\frac{1}{2}$ 時，函數取得最大值2，x=$\frac{5}{4}$ 時，sinπx=cosπx=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，函數取得最小值，
∴|x₂-x₁|的最小值為$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查三角函數的性質，確定|x₂-x₁|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標差的絕對值是關鍵，屬于中檔題．