Question

4．設(shè)向量$\overrightarrow{AB}$=（1，m），$\overrightarrow{BC}$=（2m，-1），其中m∈[-1，+∞），則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最小值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，代入向量的數(shù)量積公式得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$關(guān)于m的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=（2m+1，m-1）．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2m+1+m（m-1）=m²+m+1=（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$．
∵m∈[-1，+∞），
∴當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$取得最小值$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．