Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若不等式f（x）≥0的解集為R，求A的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，把要求的不等式轉(zhuǎn)化為 $\left\{\begin{array}{l}{0＞x≥-1}\\{2x+1≥0}\end{array}\right.$ 或x≥0，由此求得它的解集．
（2）由題意可得a≥|x+1|-|x|恒成立，利用絕對(duì)值三角不等式求得|x+1|-|x|的最大值，可得a的范圍．

解答 解：（1）a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=|x+1|-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x＜-1}\\{2x+1，-1≤x＜0}\\{1，x≥0}\end{array}\right.$，
故由f（x）=|x+1|-|x|≥0，可得 $\left\{\begin{array}{l}{0＞x≥-1}\\{2x+1≥0}\end{array}\right.$ 或x≥0，求得 x≥-$\frac{1}{2}$．
（2）不等式f（x）≥0的解集為R，等價(jià)于a≥|x+1|-|x|恒成立．
由于|x+1|-|x|≤|（x+1）-x|=1，∴a≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．