Question

8．若關(guān)于x的函數(shù)f（x）=$\frac{{2t{x^2}+\sqrt{2}tsin（{x+\frac{π}{4}}）+x}}{{2{x^2}+cosx}}$（t≠0）的最大值為a，最小值為b，且a+b=2，則實數(shù)t的值為1．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）可化為t+$\frac{tsinx+x}{2{x}^{2}+cosx}$，令g（x）=$\frac{tsinx+x}{2{x}^{2}+cosx}$，則g（-x）=-g（x），設(shè)g（x）的最大值為M，最小值為N，則M+N=0，
由f（x）的最大值和最小值，解方程即可得到t=1．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{2t{x^2}+\sqrt{2}tsin（{x+\frac{π}{4}}）+x}}{{2{x^2}+cosx}}$（t≠0）
=$\frac{2t{x}^{2}+\sqrt{2}t（\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx）+x}{2{x}^{2}+cosx}$=$\frac{t（2{x}^{2}+cosx）+（tsinx+x）}{2{x}^{2}+cosx}$
=t+$\frac{tsinx+x}{2{x}^{2}+cosx}$，
令g（x）=$\frac{tsinx+x}{2{x}^{2}+cosx}$，則g（-x）=$\frac{-tsinx-x}{2{x}^{2}+cosx}$=-g（x），
設(shè)g（x）的最大值為M，最小值為N，
則M+N=0，
即有t+M=a，t+N=b，
a+b=2t+M+N=2t=2，
解得t=1．
故答案為：1．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性及運用，考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和運算能力，屬于中檔題．