Question

17．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)（x₁，y₁）∈M，都存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：
①M(fèi)={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}； ②M={（x，y）|y=log₂x}；③M={（x，y）|y=e^x-2}；
④M={（x，y）|y=sinx+1}；其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是（　�。�

• A． ①④
• B． ②③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 由題意可得：集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，即滿足：曲線y=f（x）上過任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線與之垂直．

解答 解：由題意可得：集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，即滿足：曲線y=f（x）上過任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線與之垂直．
①M(fèi)={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}，假設(shè)集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，則存在兩點(diǎn)（x₁，$\frac{1}{{x}_{1}}$），（x₂，$\frac{1}{{x}_{2}}$），滿足$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}}{{x}_{1}}$•$\frac{\frac{1}{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$=-1，化為${x}_{1}^{2}•{x}_{2}^{2}$=-1，無解，因此假設(shè)不成立，即集合M不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，
②M={（x，y）|y=log₂x}，（x＞0），�。�1，0），則不存在點(diǎn)（x₂，log₂x₂）（x₂＞0），滿足1×x₂+0=0，因此集合M不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
對(duì)于③M={（x，y）|y=e^x-2}，其圖象過點(diǎn)（0，-1），且向右向上無限延展，向左向下無限延展，所以，據(jù)圖可知，在圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，過原點(diǎn)作OA的垂線OB必與y=e^x-2的圖象相交，即一定存在點(diǎn)B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=e^x-2}是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
對(duì)于④M={（x，y）|y=sinx+1}，畫出函數(shù)圖象，在圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，過原點(diǎn)作直線OA的垂線OB，因?yàn)閥=sinx+1的圖象沿x軸向左向右無限延展，且與x軸相切，因此直線OB總會(huì)與y=sinx+1的圖象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，故④符合；
綜上可得：只有③④是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“垂直對(duì)點(diǎn)集”、直線垂直與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．