Question

10．已知函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$（其中x∈R），求：
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出函數(shù)f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{3}$），由此能求出函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）由f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{3}$），得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間滿足：2$kπ-\frac{π}{2}$$≤2x+\frac{π}{3}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，減區(qū)間滿足：2k$π+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，由此能求出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$
=$\frac{5}{2}sin2x$-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$cos2x
=5sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵f（x）=5sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間滿足：2$kπ-\frac{π}{2}$$≤2x+\frac{π}{3}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
減區(qū)間滿足：2k$π+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
減區(qū)間為[$kπ+\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間的求法，考查三角函數(shù)性質(zhì)、二倍角公式、正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方思想，是中檔題．