Question

1．設(shè)關(guān)于x的方程2x²-ax-2=0的兩根為α、β（α＜β），函數(shù)f（x）=$\frac{4x-a}{{x}^{2}+1}$
（1）求f（α）•f（β）的值；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[α，β]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，由韋達(dá)定理可以求出$α+β=\frac{a}{2}，αβ=-1$，而可以得到$f（α）•f（β）=\frac{16αβ-4a（α+β）+{a}^{2}}{（αβ）^{2}+（α+β）^{2}-2αβ+1}$，這樣帶入α+β和αβ便可得出f（α）f（β）的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{-2（2{x}^{2}-ax-2）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，這樣便可得到方程-2（2x²-ax-2）=0的兩根為α，β，且α＜β，這樣即可判斷f′（x）在區(qū)間[α，β]上的符號，從而得出f（x）在區(qū)間[α，β]上的單調(diào)性．

解答 解：（1）根據(jù)韋達(dá)定理，$α+β=\frac{a}{2}，αβ=-1$；
∴$f（α）f（β）=\frac{4α-a}{{α}^{2}+1}•\frac{4β-a}{{β}^{2}+1}$
=$\frac{16αβ-4a（α+β）+{a}^{2}}{（αβ）^{2}+（α+β）^{2}-2αβ+1}$
=$\frac{-16-2{a}^{2}+{a}^{2}}{1+\frac{{a}^{2}}{4}+2+1}$
=-4；
（2）$f′（x）=\frac{4（{x}^{2}+1）-2x（4x-a）}{（{x}^{2}+1）^{2}}=\frac{-2（2{x}^{2}-ax-2）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$；
∵關(guān)于x的方程2x²-ax-2=0的兩根為α，β；
∴方程-2（2x²-ax-2）=0的兩根為α，β，且α＜β；
∴α≤x≤β時(shí)，f′（x）≥0；
∴f（x）在區(qū)間[α，β]上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評 考查韋達(dá)定理，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，商的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，以及二次函數(shù)的符號和對應(yīng)一元二次方程實(shí)數(shù)根的關(guān)系．