Question

已知 t=

-u2+7u-7

u-1

（u＞1），且關(guān)于t的不等式t²-8t+m+18＜0有解，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-3）
• B、（-3，+∞）
• C、（3，+∞）
• D、（-∞，3）

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：u＞1，可得u-1＞0．t=

-u2+7u-7

u-1

=-[（u-1）+

1

u-1

]+5，利用基本不等式的性質(zhì)可得t∈（1，3]．
不等式t²-8t+m+18＜0，化為m＜-t²+8t-18，因此關(guān)于t的不等式t²-8t+m+18＜0有解?m＜（-t²+8t-18）_max．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵u＞1，∴u-1＞0．
∴t=

-u2+7u-7

u-1

=

-(u-1)2+5(u-1)-1

u-1

=-[（u-1）+

1

u-1

]+5≤-2

(u-1)• 1 u-1

+5=3，當(dāng)且僅當(dāng)u=2時取等號．
∴t∈（1，3]．
∵不等式t²-8t+m+18＜0，化為m＜-t²+8t-18，
∴關(guān)于t的不等式t²-8t+m+18＜0有解?m＜（-t²+8t-18）_max．
令f（t）=-t²+8t-18=-（t-4）²-2≤f（3）=-3．
因此m＜-3．
故選：A．

點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．