Question

20．設(shè)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}$+5x+6在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\sqrt{5}$，+∞）
• B． （-∞，-3]
• C． （-∞，-3]∪[-$\sqrt{5}$，+∞）
• D． [-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，條件等價(jià)為f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²+2ax+5，
①若函數(shù)在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)增函數(shù)，則等價(jià)為f′（x）≥0恒成立，
即x²+2ax+5≥0，
即2ax≥-x²-5，
則2a≥$\frac{-{x}^{2}-5x}{x}$=-（x+$\frac{5}{x}$），
∵x+$\frac{5}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{5}{x}}=2\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{5}{x}$，即x=$\sqrt{5}$∈[1，3]取等號，
∴-（x+$\frac{5}{x}$）_max=-2$\sqrt{5}$，
即2a≥-2$\sqrt{5}$，解得a≥-$\sqrt{5}$；
②若函數(shù)在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)減函數(shù)，則等價(jià)為f′（x）≤0恒成立，
即x²+2ax+5≤0，
即2ax≤-x²-5，
則2a≤$\frac{-{x}^{2}-5x}{x}$=-（x+$\frac{5}{x}$），
∵x+$\frac{5}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{5}{x}}=2\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{5}{x}$，即x=$\sqrt{5}$∈[1，3]取等號，
∴-（x+$\frac{5}{x}$）_max=-2$\sqrt{5}$，
當(dāng)x=1時(shí)，-（x+$\frac{5}{x}$）=-6，
當(dāng)x=3時(shí)，-（x+$\frac{5}{x}$）=-（3+$\frac{5}{3}$）=-$\frac{14}{3}$＞-6，
∴-（x+$\frac{5}{x}$）_min=-6，
即2a≤-6，解得a≤-3；
綜上a∈（-∞，-3]∪[-$\sqrt{5}$，+∞），
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．求解最值的過程中使用了基本不等式，注意本題要進(jìn)行分類討論．