Question

已知命題p：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0，對?x∈R恒成立；命題q：關(guān)于x的方程x²+（a-1）x+1=0的一個根在（0，1）上，另一個根在（1，2）上，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：先根據(jù)二次函數(shù)的最大值及二次函數(shù)的圖象求出命題p，q下a的取值范圍，再根據(jù)p∨q為真命題，p∧q為假命題得到p真q假，和p假q真兩種情況，求出每種情況下a的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：由命題p知，函數(shù)（a-2）x²+2（a-2）x-4的最大值小于0；
a=2時，-4＜0，∴符合題意；
a≠2時，則a需滿足：

a＜2 -16(a-2)-4(a-2)2 4(a-2) ＜0

，解得-2＜a＜2；
∴命題p：-2＜a≤2；
根據(jù)命題q，設(shè)f（x）=x²+（a-1）x+1，所以：

f(0)=1＞0 f(1)=a+1＜0 f(2)=2a+3＞0

，解得-

3

2

＜a＜-1；
∴命題q：-

3

2

＜a＜-1；
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假：
p真q假時，

-2＜a≤2 a≤- 3 2 l，或a≥-1

，∴-2＜a≤-

3

2

，或-1≤a≤2；
p假q真時，

a≤-2，或a＞2 - 3 2 ＜a＜-1

，∴a∈∅；
∴實數(shù)a的取值范圍為(-2，-

3

2

]∪[-1，2]．

點(diǎn)評：考查二次函數(shù)的最大值的計算公式，注意討論二次項的系數(shù)是否為0的情況，注意結(jié)合二次函數(shù)圖象，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的關(guān)系．