Question

10．已知函數(shù)f（x）=2ax+$\frac{1}{x}$（a∈R）．
（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性并用定義證明你的結(jié)論；
（2）對(duì)于任意的x∈（0，1]，使得f（x）≥6恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a代入可得$f（x）=x+\frac{1}{x}$，利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性，判斷f（x₁）-f（x₂）的正負(fù)；
（2）整理不等式可得2ax+$\frac{1}{x}$≥6 恒成立，即$2a≥6（\frac{1}{x}）-{（\frac{1}{x}）^2}$，只需求出右式的最大值，利用二次函數(shù)性質(zhì)可求．

解答 解：（1）∵$a=\frac{1}{2}$
∴$f（x）=x+\frac{1}{x}$
f（x）在（0，1]上的單調(diào)遞減             …（2分）
證明：取任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂≤1
$\begin{array}{l}f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}={x_1}-{x_2}+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\\ \begin{array}{l}{\;}&{\;}&{\;}&{\;}&{=（{x_1}-{x_2}）\frac{{（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}}\end{array}\begin{array}{l}{\;}&{（*）}\end{array}\end{array}$
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1
得 f（x₁）-f（x₂）＞0
所以f（x）在（0，1]上的單調(diào)遞減             …（8分）
（2）由f（x）≥6在（0，1]上恒成立，
∴2ax+$\frac{1}{x}$≥6 恒成立
即$2a≥6（\frac{1}{x}）-{（\frac{1}{x}）^2}$$（\frac{1}{x}）∈[1，+∞）$$⇒{（6（\frac{1}{x}）-{（\frac{1}{x}）^2}）_{max}}=9$$⇒2a≥9\begin{array}{l}{\;}{\;}{即a≥\frac{9}{2}}\end{array}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 考查了利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題的轉(zhuǎn)換．