Question

11．已知$\frac{2+\frac{1}{ta{n}^{2}θ}}{1+sinθ}$=1，求證：（1+sin θ ）（2+cosθ ）=4．

Answer 1

分析 將已知等式化弦變形，得：1+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$=sinθ，從而解得sinθ，cosθ，將其代入所要證明的式子證明等式左邊等于右邊即可．

解答 證明：已知等式化弦變形，得：1+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$=sinθ，
兩邊乘以sin²θ，得：sin²θ+cos²θ=sin³θ．
所以解得：sinθ=1，cosθ=0．
將其代入所要證明的式子，有：
（1+sinθ）（2+cosθ）
=（1+1）（2+0）
=4
即：（1+sinθ）（2+cosθ）=4．故得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等式的證明，屬于基本知識(shí)的考查．