Question

1．已知函數(shù)$f（x）=2-3\sqrt{x}$ x∈[1，2）
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明；
（2）求函數(shù)$f（x）=2-3\sqrt{x}$在x∈[1，2）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷和證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和值域之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）判斷：$f（x）=2-3\sqrt{x}$在上是單調(diào)遞減的函數(shù)                             …（2分）
證明：在x∈[1，2）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=（2-3$\sqrt{{x}_{1}}$）-（2-3$\sqrt{{x}_{2}}$）=3$\sqrt{{x}_{2}}$-3$\sqrt{{x}_{1}}$=3×$\frac{（\sqrt{{x}_{2}}-\sqrt{{x}_{1}}）（\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}）}{\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}}$=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{\sqrt{{x}_{2}}-\sqrt{{x}_{1}}}$…（5分）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
又∵$\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}＞0$…（6分）
∴$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0…（7分），
∴$f（x）=2-3\sqrt{x}$在[1，2）上為減函數(shù)．…（8分）
（2）∵$f（x）=2-3\sqrt{x}$在[1，2）上為減函數(shù)．
當(dāng)x∈[1，2）時，f（x）∈（2-3$\sqrt{2}$，-1]，
∴函數(shù)f（x）的值域為（2-3$\sqrt{2}$，-1]．…（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明以及函數(shù)值域的求解，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．