Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足cos（A+C）sinA=（sinB-c）cosA，若a=1，且D為BC中點(diǎn)，則AD長(zhǎng)度的最大值為$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以得到c•cosA=sinC，這樣根據(jù)正弦定理便可得到$\frac{1}{sinA}=\frac{1}{cosA}$，從而得到A=$\frac{π}{4}$，c=$\sqrt{2}sinC$，根據(jù)余弦定理可以求出AD的范圍．

解答 解：根據(jù)條件，-cosBsinA=sinBcosA-ccosA；
∴c•cosA=sinBcosA+cosBsinA；
即c•cosA=sin（A+B）=sinC；
∴$\frac{c}{sinC}=\frac{1}{cosA}$；
有$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，a=1；
∴$\frac{1}{sinA}=\frac{1}{cosA}$；
∴sinA=cosA；
∴$A=\frac{π}{4}$；
∴$c=\sqrt{2}sinC$；

如上圖所示，BC=1，延長(zhǎng)AD一倍到點(diǎn)E，作CF⊥AB，設(shè)∠FCB=α，則CF=AF=cosα，F(xiàn)B=sinα，
∠ACE=$\frac{3π}{4}$，CE=AB=sinα+cosα，AC=$\sqrt{2}$cosα；
∴AE²=AC²+CE²-2AC•CE•cos$\frac{3π}{4}$=1+4cos²α+4sinαcosα=3+2$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）；
所以，當(dāng)α=$\frac{π}{8}$時(shí)，AE²最大，為3+2$\sqrt{2}$；
此時(shí)，AE最大，為1+$\sqrt{2}$，AD=$\frac{1}{2}$AE最大值為$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查兩角和的正余弦公式，三角形的內(nèi)角和為π，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及正弦定理，直角三角形邊的關(guān)系．