Question

13．設(shè)函數(shù)f′（x）是函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，若f（x）-f（-x）=2x³，且當(dāng)x＞0時，f′（x）＞3x²，則不等式f（x）-f（x-1）＞3x²-3x+1的解集為（　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （${\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{2}}$）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)令F（x）=f（x）-x³，由題意判斷出F（x）的奇偶性和單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化成f（x）-x³＞f（x-1）-（x-1）³，即F（x）＞F（x-1），由函數(shù)單調(diào)性可得到|x|＞|x-1|，解得即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-x³，F(xiàn)′（x）=f′（x）-3x²，
則由f（x）-f（-x）=2x³，
可得F（-x）=F（x），故F（x）為偶函數(shù)，
又當(dāng)x＞0時，f′（x）＞3x²，即F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
不等式f（x）-f（x-1）＞3x²-3x+1化為f（x）-x³＞f（x-1）-（x-1）³，
∴F（x）＞F（x-1），
∴由函數(shù)單調(diào)性可知：|x|＞|x-1|，
解得x＞$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．