Question

16．已知集合A={x|x²-2ax+4a²-3=0}，集合B={x|x²-x-2=0}，集合C={x|x²+2x-8=0}．
（1）若A∩B≠∅，A∩C=∅，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若A∩B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出B與C中方程的解確定出B與C，根據(jù)A∩B≠∅，A∩C=∅，確定出a的值即可；
（2）由A∩B=A，得到A⊆B，分A為空集與A不為空集兩種情況求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由B中方程變形得：（x-2）（x+1）=0，
解得：x=2或x=-1，即B={-1，2}，
由C中方程變形得：（x-2）（x+4）=0，
解得：x=2或x=-4，即C={-4，2}，
由A∩B≠∅，A∩C=∅，得到x=-1是A中方程的解，
把x=-1代入A中方程得：1+2a+4a²-3=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$或a=-1，
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，A中方程為x²-x-2=0，即x=2或-1，A={-1，2}，不合題意，舍去；
當(dāng)a=-1時(shí)，A中方程為x²+2x+1=0，即x=-1，A={-1}，符合題意，
則a=-1；
（2）∵A∩B=A，∴A⊆B，
當(dāng)A=∅，即A中方程無(wú)解，△=4a²-4（4a²-3）＜0，
解得：a＜-1或a＞1；
當(dāng)A≠∅時(shí)，x=-1或x=2為A中方程的解，
把x=-1代入A中方程得：1+2a+4a²-3=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$或a=-1；
把x=2代入A中方程得：4-4a+4a²-3=0，即（2a-1）²=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
綜上，a的范圍為{a|a≤-1或a＞1，且a=$\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．