Question

6．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0（x₁≠x₂），若實數(shù)a滿足f（log₃a^-1）+2f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$a）≥3f（1），則a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，3]
• B． [1，3]
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． （0，3]

Answer 1

分析 由$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵對任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0（x₁≠x₂），
∴此時函數(shù)為減函數(shù)，
則f（log₃a^-1）+2f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$a）≥3f（1），等價為f（-log₃a）+2f（-log₃a）≥3f（1），
即3f（log₃a）≥3f（1），
則f（log₃a）≥f（1），
即f（|log₃a|）≥f（1），
即|log₃a|≤1，
則-1≤log₃a≤1，
即$\frac{1}{3}$≤a≤3，
故選：A

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．