Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁=1，a_na_n+1-a_n²+2a_n+1-4a_n-4=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知S_n是數(shù)列{

4

anan+1

}的前n項(xiàng)和，求證：

4

3

≤S_n≤2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得（a_n+2）（a_n+1-a_n-2）=0，由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，得{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，由此求出a_n=2n-1．
（2）由

4

anan+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項(xiàng)求和法求出S_n=

4n

2n+1

，由此能證明

4

3

≤Sn＜2．

解答： （1）解：∵a_na_n+1-a_n²+2a_n+1-4a_n-4=0，
∴（a_n+2）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n+1-a_n-2=0，
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）證明：由（1）知a_n=2n-1，
∴

4

anan+1

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=2（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=2（1-

1

2n+1

）=

4n

2n+1

，
∴S_n+1-S_n=

4(n+1)

2n+3

-

4n

2n+1

=

4

(2n+1)(2n+3)

＞0，
∴{S_n}是單調(diào)增數(shù)列，
∴Sn≥S1=

4

3

，
又∵Sn=2(1-

1

2n+1

)＜2，
∴

4

3

≤Sn＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．