Question

定義：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），滿足f′（x₁）=

f(b)-f(a)

b-a

，f（x）=f′（x₂）=

f(b)-f(a)

b-a

，則稱數(shù)x₁，x₂為[a，b]上的“對望數(shù)”，函數(shù)f（x）為[a，b]上的“對望函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+m是[0．m]上的“對望函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、（1，

  3

  2

  ）
• B、（

  3

  2

  ，3）
• C、（1，2）∪（2，3）
• D、（1，

  3

  2

  ）∪（

  3

  2

  ，3）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由新定義可知f′（x₁）=f′（x₂）=

1

3

m²-m，即方程x²-2x=

1

3

m²-m在區(qū)間[0，m]有兩個(gè)解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答： 解：由題意可知，
在區(qū)間[0，m]存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
滿足f′（x₁）=

f(m)-f(0)

m-0

=

1

3

m²-m，
∵f（x）=x³-x²+a，
∴f′（x）=x²-2x，
∴方程x²-2x=

1

3

m²-m在區(qū)間[0，m]有兩個(gè)解．
令g（x）=x²-2x-

1

3

m²+m，（0＜x＜m）．
則

△=4+ 4 3 m2-4m＞0 g(0)=- 1 3 m2+m＞0 g(m)= 2 3 m2-m＞0 m＞1

，
解得

3

2

＜a＜3，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

3

2

，3）．
故選：B．

點(diǎn)評：本題是一道新定義函數(shù)問題，考查對函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用．解題時(shí)首先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，再將新定義函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)情況確定參數(shù)m所滿足的條件，解之即得所求．屬于中檔題．