Question

13．球O是四面體ABCD的外接球（即四面體的頂點均在球面上），若AB=CD=2$\sqrt{2}$，AD=AC=BD=BC=$\sqrt{5}$，則球O的表面積為9π．

Answer 1

分析 分別取AB，CD的中點E，F(xiàn)，連接相應(yīng)的線段，由條件可知，球心G在EF上，可以證明G為EF中點，求出球的半徑，然后求出球的表面積．

解答 解：分別取AB，CD的中點E，F(xiàn)，連接相應(yīng)的線段CE，ED，EF，由條件，AB=CD=2$\sqrt{2}$，AD=AC=BD=BC=$\sqrt{5}$，可知，△ABC與△ADB，都是等腰三角形，
AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB與CD的公垂線，球心G在EF上，可以證明G為EF中點，（△AGB≌△CGD）
DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{3}$，DF=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{3-2}$=1，
∴GF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$，
球半徑DG=$\sqrt{G{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+2}$=$\frac{3}{2}$，
∴外接球的表面積為4π×DG²=9π，
故答案為：9π．

點評 本題考查球的內(nèi)接幾何體，球的表面積的求法，考查計算能力．