Question

2．如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求二面角A-PC-B的余弦值；
（Ⅱ）證明：在線段PC上存在點(diǎn)D，使得BD⊥AC，并求$\frac{PD}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （I）作AZ∥BC，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．所求值即為平面APC的一個(gè)法向量與平面PBC的一個(gè)法向量的夾角的余弦值；
（II）設(shè)D（u，v，w）是線段PC上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{PD}=λ\overrightarrow{PC}（0≤λ≤1）$，利用$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=0$計(jì)算即可．

解答 （I）解：如圖，在平面ABC內(nèi)，作AZ∥BC，
則AP、AB、AZ兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．
$\overrightarrow{AP}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AM}$=（1，1，0）．
設(shè)平面APC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ 2y+z=0.\end{array}\right.$，
令z=-2，則z=-2，∴$\overrightarrow{m}$=（0，1，-2）．
又$\overrightarrow{AM}=（1，1，0）$為平面PBC的法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{AM}＞$=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵二面角A-PC-B為銳角，
∴二面角A-PC-B的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$；
（II）證明：設(shè)D（u，v，w）是線段PC上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{PD}=λ\overrightarrow{PC}（0≤λ≤1）$．
即（u-2，v，w）=λ（-2，2，1）．
∴u=2-2λ，v=2λ，w=λ，
∴$\overrightarrow{BD}=（2-2λ，2λ-2，λ）$，
由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=0$，得$λ=\frac{4}{5}$．
∵$\frac{4}{5}∈[0，1]$，
∴在線段PC上存在點(diǎn)D，使得BD⊥AC，
此時(shí)$\frac{PD}{PC}=λ=\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角，空間中線段之間的大小關(guān)系，向量數(shù)量積運(yùn)算，注意解題方法的積累，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．