Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+x．
（1）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．
（2）求f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}，2$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值和端點值，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-2x²+x，
∴f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）遞增，在（$\frac{1}{3}$，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）由（1）得：f（x）在[$\frac{1}{3}$，1）遞減，在（1，2]遞增；
而f（1）=0，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，f（2）=2，
∴f（x）的最大值為f（2）=2，f（x）的最小值為f（1）=0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．