Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，BC=1，DC=2，四個內角A，B，C，D的度數之比為3：7：4：10．求：
（1）BD的長；
（2）AB的長．

Answer 1

分析 根據四邊形的內角和求出四個角的度數，在△BCD中使用余弦定理得出BD，在△ABD中使用正弦定理解出AB．

解答 解：∵A+B+C+D=360°，A：B：C：D=3：7：4：10．
∴A=45°，B=105°，C=60°，D=150°．
（1）連結BD，在△BCD中，由余弦定理得BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC=3，
∴BD=$\sqrt{3}$．
（2）在△BCD中，由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠BDC}=\frac{BD}{sinC}$，即$\frac{1}{sin∠BDC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得sin∠BDC=$\frac{1}{2}$，∴∠BDC=30°，
∴∠ADB=150°-30°=120°．
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sinA}$，即$\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
解得AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 把你考查了正余弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題．